Loi Binomiale

Loi Binomiale : Programme de BTS

TUTO : Loi Binomiale : Certifié

Bon, je fais ce tuto pour vous expliquer la loi binomiale. Commençons. Voici l'exercice.

Un laboratoire pharmaceutique fabrique en très grande quantité, un certain type de comprimés dont la masse est exprimée en milligrammes. Un comprimé est considéré comme acceptable pour la masse lorsque celle-ci appartient à l’intervalle [580 ; 620]

On admet que 3℅ des comprimés d’un lot important ne sont pas acceptables pour la masse. On prélève au hasard 10 comprimés de ce lot pour vérification de masse. Le lot est suffisamment important pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 10 comprimés.

On considère la variable aléatoire X qui à tout prélèvement de 10 comprimés associe le nombre de comprimés non acceptables pour la masse.
1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.

2. Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement de 10 comprimés, un comprimé exactement, ne soit pas acceptable pour la masse

3. Calculer la probabilité que dans un tel prélèvement de 10 comprimés, un comprimé au moins, ne soit pas acceptable pour la masse.

Donc, bien évidemment, la lecture de l'énoncé doit être faite sérieusement, il y a des informations très importantes dans l'exercice, comme par exemple : les paramètres.

Tout d'abord, la première question nous demande de justifier que la variable aléatoire X suit la loi binomiale. Le tout, en déterminant les paramètres. Dans l'énoncé, nous devons trouver le paramètre "p" et le paramètre "n" pour les glisser dans la formule :

P(X=k) = nCk * p^k * q^(n-k)

(Attention, "nCk" est la syntaxe de la calculatrice, je fais le tuto sur PC donc c'est compliqué d'utiliser la syntaxe officielle :p)

ici, "k" représente le nombre de succès sur un total de "n". Par exemple, ici, le succès est le fait qu'un comprimé ne soit pas acceptable car il est, soit trop lourd, soit trop léger. Dans l'exercice, il est dit que seulement 3% des comprimés ne sont pas acceptables (autrement dit, on a 3% de chance d'obtenir un succès).

nous avons donc trouvé notre paramètre "p" : "3%" ! Évidemment, on ne va pas l'écrire "3%", on va le transformer en "ratio" : si 100% est égal à 1, alors 3% est égal à 0.03

notre paramètre "p" sera donc : 0.03 ! Et puisque nous avons réussi à trouver le paramètre "p", nous allons en déduire le paramètre "q" ! Le paramètre "q" est simplement ce qu'il manque au paramètre "p" pour arriver à 1. Je m'explique :

1 - 0.03 = 0.97

il manque 0.97 pour que le paramètre "p" arrive jusque 1 ! Autrement dit, il y a 97% de comprimés acceptables (puisque 3% d'entre eux ne le sont pas.)

Maintenant que nous avons trouvé le paramètre "p" (dont on a déduis le paramètre "q"), nous allons chercher le paramètre "n", chose très facile puisque "n" représente le total de comprimés prélevés à chaque tirage ! c'est dit noir sur blanc dans l'énoncé, il s'agit simplement du nombre de comprimés tirés à chaque fois ! Maintenant que nous avons les paramètres, nous devons encore prouver qu'il s'agit d'une loi binomiale, la encore, l'énoncé va nous aider. Il est bien marqué "Le lot est suffisamment important pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 10 comprimés."

Autrement dit, "on prend 10 comprimés, on les test, on les remets dans le paquet, on en re-prend 10 autres (il y a donc très peu de chance de retomber sur les premiers) on les test à leur tour puis on les remets dans le paquet." Qu'est ce que ça veut dire ? Nous ne tirons quasi-jamais les mêmes comprimés, et donc, nous ne pourrons jamais prévoir le résultat des tests. À chaque tirage, nous aurons autant de chance de tomber sur un succès, ou sur un échec.

Nous allons donc l'expliquer avec des termes précis qui feront plaisir à nos correcteurs :

Il s'agit d'un tirage avec remise de 10 comprimés ou, chaque tirage est réalisé de façon identique et indépendant et ont comme seules issues possibles : succès et échec. Les paramètres sont :
  • p = 0.03
  • n = 10

On ne précise pas "q" car il est sous entendu du paramètre "p".

Nous allons nous lancer sur la deuxième question. Je vais, pour ça, vous écrire la consigne deux fois en changeant juste 2 choses, pour que vous compreniez.

il nous est demandé la probabilité pour que 1 comprimé sur les 10 ne soit pas acceptable.
il nous est demandé la probabilité pour que "k" comprimé sur les "n" ne soi(en)t pas acceptable(s)

Nous avons plus qu'à remplacer les lettres de la formules par les paramètres que nous avons trouvés.

P(X=k) = nCk * p^k * q^(n-k)
P(X=1) = 10C1 * 0.03^1 * 0.97^(10-1) = 0.228

La probabilité pour que 1 comprimé ne soit pas acceptable est de : 0.228 que l'on peut arrondir à 0.23.

Passons maintenant à la dernière question. Quelle serait la probabilité d'avoir AU MOINS 1 comprimé non acceptable. Autrement dit, 1 comprimé OU plus d'un comprimé. Dans le but de faire des explications claires et compréhensible, je vais me permettre de changer la consigne. la question sera :

Quelle serait la probabilité d'avoir AU MOINS 2 comprimés non acceptables ?

Rassurez vous, ça ne complique pas grand chose.

Lorsque nous disons "j'ai une chance sur 4 d'échouer", cela veut aussi dire "j'ai 3 chances sur 4 de réussir". Ici, cela revient au même, nous voulons la probabilité d'avoir au moins 2 comprimés non acceptables. Tout d'abord, il faut comprendre : que veut dire "au moins 2" ?

au moins 2 :

à partir de 2 jusque (dans cet exercice) 10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Cela veut dire que tous les chiffres en rouge sont comptés dans le "au moins 2".

Maintenant que ce point est clarifié, je reprends avec mon "j'ai 1 chance sur 4 d'échouer, j'ai donc 3 chances sur 4 de réussir". Si je veux la probabilité d'avoir au moins 2 comprimés non acceptables, comment vais-je procéder ? Comment ai-je fais pour faire le calcul de mes chances de réussir ?

"j'ai 1 chance sur 4 d'échouer, j'ai donc 3 chances sur 4 de réussir"

Et bien c'est facile, j'ai calculé mes chances d'échec, et je les ai simplement inversé. Le système est le même :

Pour calculer les chances d'avoir au moins 2 comprimés non acceptable, je vais calculer les chances d'en avoir strictement moins de 2, puis, je n'aurai plus qu'à inverser. Capiche ? je vais calculer les chances d'avoir 0 ou 1 comprimé non acceptable (les chiffres en bleu) et j'inverserai pour avoir les chances d'avoir 2 ou 3 ou 4 ou .....10 comprimés non acceptables (les chiffres en rouge).

Si P(X<2) = P(X=0) + P(X=1)
Alors P(X≥2) = 1 - (P(X=0) + P(X=1))
Si je trouve la probabilité d'avoir l'inverse de la réponse. Je n'aurais qu'à faire "1 - [l'inverse de la réponse]" pour obtenir la réponse.

Maintenant, je réponds à la question :

P(X=0) = 10C0 * 0.03^0 * 0.97^(10-0) = 0.737
P(X=1) je la connais déjà ! je l'ai calculé tout à l'heure : P(X=1) = 10C1 * 0.03^1 * 0.97^(10-1) = 0.228

Je vais une nouvelle fois écrire en double pour être le plus clair possible.

Si P(X<2) = P(X=0) + P(X=1)
Si P(X<2) = 0.737 + 0.228
Si P(X<2) = 0.965

Alors P(X≥2) = 1 - (P(X=0) + P(X=1))
Alors P(X≥2) = 1 - (0.737 + 0.228)
Alors P(X≥2) = 1 - 0.965
Alors P(X≥2) = 0.035

La probabilité d'avoir strictement moins de 2 comprimés non acceptables est de 0.965, donc : 1 - 0.965 = 0.035
La probabilité d'avoir au moins 2 comprimés non acceptable est de 0.035

Exercice terminé.