Loi de Poisson

Loi de Poisson : Programme de BTS

TUTO : La loi de Poisson

Bonjour, bonjouuuur ! Dans ce tuto, on va attaquer la loi de Poisson ! Et donc l'approche de la loi binomiale avec la loi de Poisson :3 On est parti !

Une entreprise fabrique en grande quantité des tiges en plastique de longueur théorique 100mm.

Dans un lot de ce type de tiges, 2% des tiges n’ont pas une longueur conforme. On prélève au hasard n tiges de ce lot pour vérification de longueur. Le lot est assez important pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de n tiges.

On considéré la variable aléatoire Y qui, à tout prélèvement de n tiges, associe le nombre de tiges de longueur non conforme de ce prélèvement.

1) Pour cette question on prend n = 50

a- Justifier que la variable aléatoire Y suit une loi binomiale dont on donnera les paramétres

b- Calculer P(Y=3)

2) Pour cette question on prend n = 100. La variable aléatoire Y suit une loi binomiale que l’on décide d’approcher par une loi de Poisson.

a- Déterminer le paramètre de cette loi de Poisson

b- On désigne par Z une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre où est le paramètre obtenu à la question 2a). A l’aide de l’approximation de Y par Z, calculer la probabilité d’avoir au plus 4 tiges de longueur non conforme.

Voici notre petit exercice ! C'est un exercice du cours que je vais réexpliquer à ma façon.
Ici, on peut donc voir nos paramètres. Il est dit que seul "2%" des tiges n'ont pas une longueur conforme. Autrement dit, le paramètre "p" est 0.02 (2%). Attention à ne pas mettre 0.2 (qui correspond à 20%).

Dans la question 1, il est dit que "n = 50". Nous pouvons donc répondre à la question 1 en suivant la manière de la loi Binomiale. Nous avons donc nos deux paramètres :

  • n=50
  • p=0.02

Nous allons donc répondre à la première question.


Il s'agit d'un tirage avec remise de 10 comprimés ou, chaque tirage est réalisé de façon identique et indépendant et ont comme seules issues possibles : succès et échec. Les paramètres sont :
  • n=50
  • p=0.02

Jusque la, je ne développe rien, puisque tout ce que je viens de faire à déjà été expliqué dans le tuto sur la loi Binomiale. Je continue donc mon exercice.


la question 1) b) me demande de calculer la probabilité d'avoir 3 tiges non conformes. Je vais donc procéder au calcul suivant :

50C3*0.02^3*0.98^(50-3)=0.0606

Je rappelle que la notation "50C3" n'est pas la notation officielle, attention à ne pas mettre cela dans un contrôle.

Bien, passons maintenant à la loi de Poisson. Pour faire fonctionner cette loi, nous avons besoin d'un paramètre. Le paramètre Lambda ! Ce paramètre est noté : λ

Comment trouver ce paramètre ? C'est très simple ! λ = n (le nombre total de tiges précisé dans la question 2 de l'énoncé) * p (la probabilité ! Vous savez ? les 2% transformés en 0.02)

Autrement dit, en ce qui nous concerne, λ = 100 * 0.02 = 2
Donc λ = 2

Maintenant que nous avons λ, il ne nous reste plus qu'à le glisser dans la formule de la loi de Poisson :

p(k) = P ( X = k ) = (e^-λ) * ( (λ^k) / (k!) )

Oulalaaaa ! Oulalaaa ! Il y a deux trucs bizarres la... y'a un "e" et un "k!"

le chiffre "e" est un confrère du chiffre "Pi". Vous savez tous que "Pi" = 3.14159265359... Enfin vous savez que ça commence par "3.14" quoi... Et ben "e" c'est pareil !

e = 2.71828182846... Enfin ça commence par "2.71" quoi...

Ensuite ce "k!" est une multiplication de "k" avec tous les chiffres entre "k" et 1. Exemple : 3! = 3*2*1 = 6
5! = 5*4*3*2*1 = 120
9! = 9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 362880


Et ouais ça augmente vite cette connerie ! Bref, vous avez pigé le truc ? Revenons à nos questions, "a- Déterminer le paramètre de cette loi de Poisson"

λ = 2 (n*p)
k = 4 (précisé dans la question suivante)

Et maintenant, lançons nous dans le calcul ! :D Nous cherchons la probabilité d'avoir au plus de 4 tiges foirées !


p(k) = P ( X = k ) = (e^-λ) * ( (λ^k) / (k!) )

Autrement dit :

P ( X = 0 ) = (e^-2) * ( (2^0) / (0!) ) = 0.1353
P ( X = 1 ) = (e^-2) * ( (2^1) / (1!) ) = 0.2706
P ( X = 2 ) = (e^-2) * ( (2^2) / (2!) ) = 0.2706
P ( X = 3 ) = (e^-2) * ( (2^3) / (3!) ) = 0.1804
P ( X = 4 ) = (e^-2) * ( (2^4) / (4!) ) = 0.0902

P ( X >= 4) = P ( X = 0 ) + P ( X = 1 ) + P ( X = 2 ) + P ( X = 3 ) + P ( X = 4 ) = 0.9471
La probabilité d'avoir au plus de 4 tiges non conformes est de 0.9471 !