Les Matrices

Les Matrices : Programme de BTS

TUTO : Matrices

énoncer

Voici donc l'énoncer de l'exercice. Il s'agit d'un exercice de matrices tiré d'un BTS d'une année passée. Commençons donc par la question 1 : "Effectuer le produit matriciel MC".

Les matrices sont situées dans l'énoncer, pour que vous sachiez le faire "à la main" je vais faire les calculs comme si je n'avais pas de calculatrice. Évidemment, le jour de l'épreuve, hors mis si c'est demandé, ne le faites pas à la main.

ON COMMENCE TOUJOURS PAR LA LIGNE ! Si vous devez multiplier M et C (comme ça l'est demandé ici) vous allez multiplier les lignes de M par les colonnes de C ! si ça avait été "Effectuer le produit matriciel JK" vous auriez multiplié les lignes de J par les colonnes de K (sauf si c'est un piège haha) mais généralement, il n'y a pas ce genre de piège dans un sujet, et de toutes façons lorsqu'une des deux matrices n'a qu'une seule colonne et l'autre 3, il n'y a qu'un seul sens possible ! Bref, faisons le calcul MC :

(3 * 10) + (4 * 8) + (2 * 14) : ligne 1 de M multiplié par colonne 1 de C
(8 * 10) + (10 * 8) + (6 * 14) : ligne 2 de M multiplié par colonne 1 de C
(12 * 10) + (16 * 8) + (10 * 14) : ligne 3 de M multiplié par colonne 1 de C

Comme vous pouvez le constater, on multiplie chaque ligne de la matrice M par la même colonne de la matrice C. On a de la chance ! La matrice C n'a qu'une seule colonne, si il y en avait eu 3... on aurait du faire 3 fois plus de calculs ! On aura l'occasion de le faire tout à l'heure. :)

Il ne nous reste plus qu'à calculer :

(3 * 10) + (4 * 8) + (2 * 14) = 90
(8 * 10) + (10 * 8) + (6 * 14) = 244
(12 * 10) + (16 * 8) + (10 * 14) = 388

Traduit en français, ça donne : Le coût d'achat sera de 90€, il faudra 244 minutes pour le conditionnement de toutes les formules et le prix total demandé sera de 388€.

Passons à la question 2, il nous est donné une nouvelle matrice (la matrice P, voir le sujet plus haut) ainsi qu'une nouvelle consigne : Calculer les coefficients de la première ligne du produit matriciel PM. Donc les lignes de P multiplié par les colonnes de M ! Commençons :

God ! Il y a une lettre dans la matrice P ! C'est pas grave, on nous demande juste de calculer les coefficients de la première ligne !

(a * 3) + (2 * 8) + (-1 * 12)
(a * 4) + (2 * 10) + (-1 * 16)
(a * 2) + (2 * 6) + (-1 * 10)

Maintenant qu'on a détaillé les calculs de cette première ligne, on va chercher "a". Rien de plus simple : il nous est demandé de trouver le réel "a" tel que le produit matriciel PM soit égale à la matrice unité "I". La matrice dite "unité" est la matrice obtenue lors de la multiplication d'une matrice par son inverse. La matrice unité est comme le "1" d'une multiplication. "1 * 10" bah... ça fait 10 ! Alors matrice unité * matrice M... ben ça fait "matrice M" !

On va donc chercher ce "a". Pour cela on va reprendre la première ligne du calcul situé juste au dessus ! Lorsqu'on multiplie la premère ligne de P par la première colonne de M on obtient le chiffre positionné en première ligne première colonne. Lorsqu'on multiplie la première ligne de P avec la deuxième colonne de M et ben... on obtient le chiffre positionné en première ligne deuxième colonne ! Etc ! Donc celui qu'on cherche (le a) est situé en première ligne, première colonne de P. On nous dit que PM = I. DONC ! On doit trouver un chiffre "a" qui nous permettra d'obtenir I lorsqu'on multiplira P par M ! Rien de plus simple, on va prendre cette ligne qui correspond à la multiplication de la première ligne de P par la première colonne de M :

(a * 3) + (2 * 8) + (-1 * 12) = 1

j'ai mis "= 1" puisque le chiffre qui correspond à la lettre "a" de la matrice P est un "1" dans la matrice unité I. (Ils sont situé au même endroit dans la matrice quoi...)

Et puis ben... on va développer :D

(3a) + (16) + (-12) = 1
(3a) = 1 -16 + 12 (on oublie pas de changer les signes quand on passe le égal)
3a = -3
(3a / 3) = (-3 / 3) Je divise tout par 3 pour laisse le "a" tout seul.
a = -1

Apparemment, a serait égal à -1 ! Mettons le dans la matrice pour voir...

(-1 * 3) + (2 * 8) + (-1 * 12) = 1
(-1 * 4) + (2 * 10) + (-1 * 16) = 0
(-1 * 2) + (2 * 6) + (-1 * 10) = 0

(2 * 3) + (-1.5 * 8) + (0.5 * 12) = 0
(2 * 4) + (-1.5 * 10) + (0.5 * 16) = 1
(2 * 2) + (-1.5 * 6) + (0.5 * 10) = 0

(-2 * 3) + (0 * 8) + (0.5 * 12) = 0
(-2 * 4) + (0 * 10) + (0.5 * 16) = 0
(-2 * 2) + (0 * 6) + (0.5 * 10) = 1

Ce qui nous donne :

1 0 0
0 1 0
0 0 1

Voici donc notre fameuse matrice unité ! On sait donc que PM = I et on peut en déduire que P est l'inverse de M... et que M est donc l'inverse de P :D

"a" est donc bien égal à -1

Passons à la question 3 ! Il s'agit d'un casse tête que je trouve amusant. Oui, je suis taré. Si on admet que PM = I (puisqu'on vient de le prouver.) Démontrer que si MX = Y alors X = PY ! Go try hard :

MX = Y
PMX = PY (ici je n'ai rien changé, j'ai juste ajouté P avant et après le égal de façon à respecter l'égalité.)

On sait que PM = I donc PMX = IX

IX = PY

On sait que I * X = X (et oui ! "I" est la matrice UNITÉ ! C'est comme si je disais 1 * 541 = 541 !)

Donc X = PY ! Je le réécris au propre !

MX = Y
PMX = PY
IX = PY
X = PY

Maintenant, la dernière question ! La 4. On nous donne dans l'énoncer 3 informations :

- Le fournisseur dépense 100€
- Le conditionnement à duré : 270 minutes
- La recette du total des formules à été de 430€

On va mettre ces trois infos dans la matrice "L" pour vous expliquer.

L =
100
270
430

Et on doit déterminer le nombre de client avec ces trois informations. Et bien... Tout à l'heure on avait le nombre de client et on a dû déterminer le total, alors que là, on a le total... et on doit déterminer le nombre de client ! Ben on a juste à multiplier le total par l'inverse de la matrice M ! Soit, puisqu'on l'a prouvé, la matrice P.

(-1 * 100) + (2 * 270) + (-1 * 430) : ligne 1 de P multiplié par colonne 1 de L
(2 * 100) + (-1.5 * 270) + (0.5 * 430) : ligne 2 de P multiplié par colonne 1 de L
(-2 * 100) + (0 * 270) + (0.5 * 430) : ligne 3 de P multiplié par colonne 1 de L

Plus qu'à calculer :D :

(-1 * 100) + (2 * 270) + (-1 * 430) = 10
(2 * 100) + (-1.5 * 270) + (0.5 * 430) = 10
(-2 * 100) + (0 * 270) + (0.5 * 430) = 15

On peut donc en déduire que 10 clients ont choisi la formule 1, 10 autres ont choisi la formule 2 et 15 ont choisi la formule 3 \o/ FINIIIIIIIIIIIIII !!!