Les Suites

Les Suites : Programme de BTS

TUTO : Les Suites : Partie A

énoncer

Nous voilà maintenant partis sur les suites ! Commençons dès maintenant, la première question nous demande de calculer U2, U3 et U4 puis de justifier le fait que la suite UN n'est ni arithmétique ni géométrique.

Une suite est arithmétique lorsque Un - Un-1 = R
Une suite est géométrique lorsque Un / Un-1 = q

En sachant cela, il est facile de prouver / décrire la nature d'une suite.

Rappel de la suite de l'énoncer : Un+1 = 1 + 2Un

On voit bien que cette suite est "étrange"... qu'elle ne correspond pas aux suites que nous avons l'habitude d'étudier à l'école... Effectivement, elle comporte à la fois une addition et une multiplication ! (2Un = 2 * Un ! Mais... je n'ai pas besoin de le rappeler ça, pas vrai ?). Calculons donc U2, U3 et U4 :

On sait que U1 = 1

U2 = 1 + 2 * U1
U2 = 1 + 2 * 1
U2 = 3

U3 = 1 + 2 * U2
U3 = 1 + 2 * 3
U3 = 7

U4 = 1 + 2 * U3
U4 = 1 + 2 * 7
U4 = 15

Rien de compliqué jusque là, non ? Chaque terme de la suite multiplie par deux le terme situé AVANT lui et y ajoute 1. La suite n'est pas arithmétique puisque U4 - U3 n'est pas égal avec U3 - U2. Ainsi, la raison "R" n'est pas fixe. Cette suite n'est pas non plus géométrique puisque U4 / U3 est différent de U3 / U2 et la raison "q" est différente entre chaque terme.

Passons à la question 2 qui nous donne une nouvelle suite : Vn = Un + 1

Pour expliquer cette suite, rien de mieux que de la calculer directement !

V1 = U1 + 1
V1 = 1 + 1
V1 = 2

V2 = U2 + 1
V2 = 3 + 1
V2 = 4

V3 = U3 + 1
V3 = 7 + 1
V3 = 8

V4 = U4 + 1
V4 = 15 + 1
V4 = 16

Les résultats de cette suite font penser à une suite géométrique, le résultat est multiplié par 2 à chaque fois. Autrement dit, on passe d'un terme au terme suivant en multipliant le résultat par la raison q=2.

On nous demande ensuite de démontrer que Vn+1 = 2Vn

Démontrons donc que Vn+1 = 2Vn !

V1 = 2
V2 = 2 * 2 = 4
V3 = 4 * 2 = 8
V4 = 8 * 2 = 16

ben... ayè xD

Passons à cette question que beaucoup d'entre vous n'aimez pas... xD je cite :

En déduire une expression de Vn en fonction de n.

Vn = V1 * q^n

On multiplie juste le premier terme par la raison puissance le terme que l'on souhaite obtenir :)

Nous devons ensuite en déduire que Un = 2^n - 1

Il suffit juste de faire le calcul pour le prouver :

U3 = 2^3 - 1 = 7
U4 = 2^4 - 1 = 15

Nous obtenons bien les mêmes résultats que tout à l'heure.

Passons maintenant à la dernière question : à partir de quel terme le nombre de fichiers infectés sera-t-il supérieur à 1000 ?

Ici, il y a deux écoles...

Il y a l'école du boulet qui n'a rien compris et qui va tester à la calculette en jouant sur le numéro du terme en testant et en s'approchant de 1000 petit à petit...

Et il y a le vrai, le mec qui va trouver la réponse avant même de tester.
On cherche donc :

2^n -1 > 1000
2^n > 1000 + 1
2^n > 1001
n LOG 2 > LOG 1001
0.301n > 3
(0.301n / 0.301) > (3 / 0.301)
n > 9.96

En gros, je passe le -1 de l'autre côté du égal (il se transforme en +1), je descends la puissance de 2^n grâce à la fonction LOG (que je n'oublie pas d'appliquer à gaucher et à droite du égal pour respecter l'égalité), je calcule les LOG, 2^n se transforme en 0.301n grâce au LOG, je veux ensuite faire disparaitre le 0.301 devant le "n", je divise alors "0.301n" par 0.301 pour que "n" se retrouve seul (je n'oublie pas non plus de diviser par 0.301 tout ce qui se trouve de l'autre côté du égal pour respecter l'égalité) et j'obtiens mon résultat :

Pour tout "n" strictement supérieur à 9.96 j'obiendrai un résultat supérieur à 1000. Autrement dit, à partir du dixième allumage du PC, le virus aura dépassé les 1000 fichiers infectés.

TUTO : Les Suites : Partie B

énoncer

Youpie ! Un tableau... je vais encore mettre huit ans à le coder... Bref, la partie B est simple, rapide et cool. Non en fait, elle est cool parce qu'elle est rapide et simple... xD Bref : Je reproduis le tableau...

n 3^n - 1 Wn
1 - - - - - -
2 - - - - - -
3 - - - - - -
4 - - - - - -
5 - - - - - -

Pour remplir la première colonne, nous avons juste à remplacer le "n" de la formule par celui de la première colonne, je montre :

n 3^n - 1 Wn
1 3^1 - 1 = 2 - - -
2 3^2 - 1 = 8 - - -
3 3^3 - 1 = 26 - - -
4 3^4 - 1 = 80 - - -
5 3^5 - 1 = 242 - - -

Pour remplir la deuxième colonne, il est dit dans la question 2 ainsi que dans l'énoncer de départ que nous devons faire un modulo de 11 sur le résultat obtenu dans chaque ligne de la première colonne que nous avons rempli. Je montre :

n 3^n - 1 Wn
1 3^1 - 1 = 2 2 % 11 = 2
2 3^2 - 1 = 8 8 % 11 = 8
3 3^3 - 1 = 26 26 % 11 = 4
4 3^4 - 1 = 80 80 % 11 = 3
5 3^5 - 1 = 242 242 % 11 = 0

La question 2 nous demande de démontrer que pour chaque "n" multiple de 5, lorsque nous ferons un modulo du résultat de la première colonne, il sera toujours égal à 0.

Pour cela nous allons essayer avec 10 et 15.

3^10 - 1 = 59048
59048 % 11 = 0

3^15 - 1 = 14 348 906
14 348 906 % 11 = 0

Effectivement, à chaque fois que le "n" choisi est un multiple de 5, le résultat du modulo est égal à 0. On en déduit que tous les 5 allumages, l'ordinateur affichera un message d'avertissement à l'écran.