Les Trois Inconnus

La recherche des trois inconnus : Programme de BTS

TUTO : Recherche des trois inconnus

Bon… Du coup je me sacrifie (une fois de plus) pour vous faire un tuto à ma façon :D

donc nous avons :

x+y+z= 140
2.5x+2y+z= 275
x+1.5y+0.5z= 135

notre but étant, dans un premier temps, de dégager le “x”. Et dans un second temps, dégager le “y”. De façon à ce qu’il ne reste plus que le “z” dans la troisième ligne. Une fois que le “z” est la seule variable inconnue de la ligne, il est très facile de la trouver :)

DONC ! Règle numéro 1 => la première ligne NE CHANGE JAMAIS.

Nous allons faire ce que j’appelle une “multiplication inversée” (c’est une appellation qui m’est propre :) pour éradiquer la première inconnue.

En quoi ça consiste ?


je multiplie la deuxième ligne par le “x” de la première ligne
< + >
je multiplie la première ligne par l’inverse du “x” de la deuxième


et je mets ce résultat dans la ligne 2

autrement dit :

(“x de L1” * L2) + (“-x de L2” * L1) => L2

ici en l'occurrence :

(1 * L2) + (-2.5 * L1) => L2

résultat :

0+-0.5y+-1.5z=-75 => L2

Comment savoir si mon calcul est exact ?

Normalement si vous avez réussi votre calcul. Vous retournez voir votre “L2” (qui a du être modifiée avec votre dernier calcul puisque vous êtes sensés avoir mis “=> L2” qui veut dire “RE DIRIGE MOI LE RÉSULTAT DANS MA LISTE L2”). ET si votre liste 2 commence avec un “x” qui est égal à “0”, vous avez réussi ! le premier “x” de la liste 2 a bien été viré ! maintenant, il faut faire pareil avec la liste 3…

rien de compliqué la méthode est la même :)

x+y+z= 140
0+-0.5y+-1.5z=-75
x+1.5y+0.5z= 135

je multiplie la troisième ligne par le “x” de la première ligne
< + >
je multiplie la première ligne par l’inverse du “x” de la troisième

et je mets le résultat dans la ligne 3

autrement dit :

(“x de L1” * L3) + (“-x de L3” * L1) => L3

ici en l'occurrence :

(1 * L3) + (-1 * L1) => L3

résultat :

0+0.5y+-0.5z=-5 => L3

ce qui nous donne :

x+y+z= 140
0+-0.5y+-1.5z=-75
0+0.5y+-0.5z=-5

à partir de là on peut passer au level 2 !


petite parenthèse explicative

on a réussi à virer nos “x”, on peut maintenant virer le “y”. ET BAH C’EST PAREIL MAIS EN REMPLAÇANT X PAR Y LOL. Sauf que maintenant on ne s’occupe plus de la liste 1 ! on en a plus besoin !

La ligne 1 est sensée avoir => x y et z (elle ne change jamais comme je l’ai dit au début)
La ligne 2 est sensée avoir => y et z
La ligne 3 est sensée avoir => z

Pourquoi à votre avis ? (attention je vais donner un exemple faux pour vous montrer)

le but de ce calcul est de faire un “escalier” sur la première marche vous avez la variable “z” (la ligne 3). Vous faites le calcul, vous trouvez “z”, et une fois que vous avez “z”, vous passez à la deuxième marche : la ligne 2 !

Malheur ! il y a deux variables sur la ligne 2 ! il y a “y” et “z” !
Mais non calmes-toi ma poule, “z”, tu l’as trouvé sur la première marche ! Si “z” est égal à 4 par exemple, tu multiplieras le “z” de la deuxième ligne par 4! regardez le schéma en dessous !

admettons que :
x+y+z= 140
0+-0.5y+-1.5z=-75
0+0+z=4

z = 4 dans l’exemple. l’étape 2 sera la suivante (on remplace “z” par “*4”!)

x+y+1*4= 140
0+-0.5y+-1.5*4=-75
0+0+z=4

ce qui nous donne :

x+y+4= 140
0+-0.5y+-6=-75
0+0+z=4
et hop ! on a plus qu’à chercher y ! allez, retournons à nos moutons



x+y+z= 140
0+-0.5y+-1.5z=-75
0+0.5y+-0.5z=-5

je multiplie la troisième ligne par le “y” de la deuxième ligne
< + >
je multiplie la deuxième ligne par l’inverse du “y” de la troisième

et je mets le résultat dans la ligne 3

autrement dit :

(“y de L2” * L3) + (“-y de L3” * L2) => L3

ici en l'occurrence :

(-0.5 * L3) + (-0.5 * L2) => L3

résultat :

0+0+1z=40

nous avons donc :

x+y+z= 140
0+-0.5y+-1.5z=-75
0+0+1z=40

hmmm… c’est plutôt cool ça ! mon calcul me dit :

“1z = 40” autrement dit “z=40” même pas besoin de calculer dis donc !

donc maintenant on sait que z = 40
on passe à la deuxième ligne !

0+0.5y+-1.5*40=-75

je calcule mon z :

0+0.5y+-60=-75

on trouve le “y” :


je passe mon “z” de l’autre côté du égal, je change donc son signe

-0.5y = -75+60

-0.5y= -15

-0.5y / -0.5 = -15 / -0.5

je divise tout le monde par “-0.5” pour que “-0.5y” se transforme en “y” tout court !

y=30

voila notre “y” !

donc je récapitule :
z=40
y=30

passons à la dernière ligne !

x+y+z= 140

j’augmente la “lisibilité”

1x+1y+1z= 140

je calcule ce que je sais :

1x+1*30+1*40= 140
1x+30+40= 140

je passe le tout derrière le égal : (sans oublier de changer les signes ^^)

1x = 140 -40 -30
1x = 70
x=70

nous avons notre “x” !

alors x=70 ; y=30 ; z=40

maintenant qu’on a tout ce petit monde, on souhaite vérifier que nos calculs sont bons ;) comment faire ?

on reprend la matrice PAR DÉFAUT ! celle au tout début sans aucun changement !

celle-la !

x+y+z= 140
2.5x+2y+z= 275
x+1.5y+0.5z= 135

et on fait les calculs :D

70 + 30 + 40 = 140

2.5*70 + 2*30 + 40 = 275

70 + 1.5*30 + 0.5*40 = 135


la vérification est terminée ;)